经典 dp 模型:最长公共子序列问题|Java 刷题打卡

经典 dp 模型:最长公共子序列问题|Java 刷题打卡

技术杂谈小彩虹2021-08-18 23:35:43120A+A-

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题目描述

这是 LeetCode 上的 1143. 最长公共子序列 ,难度为 中等

Tag : 「最长公共子序列」、「LCS」、「序列 DP」

给定两个字符串 text1 和 text2,返回这两个字符串的最长 公共子序列 的长度。如果不存在 公共子序列 ,返回 0 。

一个字符串的 子序列 是指这样一个新的字符串:它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符(也可以不删除任何字符)后组成的新字符串。

  • 例如,"ace" 是 "abcde" 的子序列,但 "aec" 不是 "abcde" 的子序列。

两个字符串的 公共子序列 是这两个字符串所共同拥有的子序列。

示例 1:

输入:text1 = "abcde", text2 = "ace" 

输出:3  

解释:最长公共子序列是 "ace" ,它的长度为 3 。

示例 2:

输入:text1 = "abc", text2 = "abc"

输出:3

解释:最长公共子序列是 "abc" ,它的长度为 3 。

示例 3:

输入:text1 = "abc", text2 = "def"

输出:0

解释:两个字符串没有公共子序列,返回 0 。

提示:

  • 1 <= text1.length, text2.length <= 1000
  • text1 和 text2 仅由小写英文字符组成。

动态规划【空格技巧】

这是一道「最长公共子序列(LCS)」的裸题。

对于这类题的都使用如下「状态定义」即可:

f [ i ] [ j ] f[i][j] 代表考虑 s 1 s1 的前 i i 个字符、考虑 s 2 s2 的前 j j 的字符,形成的最长公共子序列长度。

当有了「状态定义」之后,基本上「转移方程」就是呼之欲出:

  • s1[i]==s2[j] : f [ i ] [ j ] = f [ i 1 ] [ j 1 ] + 1 f[i][j]=f[i-1][j-1]+1 。代表必然使用 s 1 [ i ] s1[i] s 2 [ j ] s2[j] LCS 的长度。
  • s1[i]!=s2[j] : f [ i ] [ j ] = m a x ( f [ i 1 ] [ j ] , f [ i ] [ j 1 ] ) f[i][j]=max(f[i-1][j], f[i][j-1]) 。代表必然不使用 s 1 [ i ] s1[i] (但可能使用 s 2 [ j ] s2[j] )时必然不使用 s 2 [ j ] s2[j] (但可能使用 s 1 [ i ] s1[i] )时 LCS 的长度。

一些编码细节:

通常我会习惯性往字符串头部追加一个空格,以减少边界判断(使下标从 1 开始,并很容易构造出可滚动的「有效值」)。

代码:

class Solution {
    public int longestCommonSubsequence(String s1, String s2) {
        int n = s1.length(), m = s2.length();
        s1 = " " + s1; s2 = " " + s2;
        char[] cs1 = s1.toCharArray(), cs2 = s2.toCharArray();
        int[][] f = new int[n + 1][m + 1]; 

        // 因为有了追加的空格,我们有了显然的初始化值(以下两种初始化方式均可)
        // for (int i = 0; i <= n; i++) Arrays.fill(f[i], 1);
        for (int i = 0; i <= n; i++) f[i][0] = 1;
        for (int j = 0; j <= m; j++) f[0][j] = 1;

        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= m; j++) {
                if (cs1[i] == cs2[j]) {
                    f[i][j] = f[i -1][j - 1] + 1;
                } else {
                    f[i][j] = Math.max(f[i - 1][j], f[i][j - 1]);
                }
            }
        }

        // 减去最开始追加的空格
        return f[n][m] - 1;
    }
}
  • 时间复杂度: O ( n m ) O(n * m)
  • 空间复杂度: O ( n m ) O(n * m)

动态规划【利用偏移】

上述「追加空格」的做法是我比较习惯的做法

事实上,我们也可以通过修改「状态定义」来实现递推:

f [ i ] [ j ] f[i][j] 代表考虑 s 1 s1 的前 i 1 i - 1 个字符、考虑 s 2 s2 的前 j 1 j - 1 的字符,形成的最长公共子序列长度。

那么最终的 f [ n ] [ m ] f[n][m] 就是我们的答案, f [ 0 ] [ 0 ] f[0][0] 当做无效值,不处理即可。

  • s1[i-1]==s2[j-1] : f [ i ] [ j ] = f [ i 1 ] [ j 1 ] + 1 f[i][j]=f[i-1][j-1]+1 。代表使用 s 1 [ i 1 ] s1[i-1] s 2 [ j 1 ] s2[j-1] 形成最长公共子序列的长度。
  • s1[i-1]!=s2[j-1] : f [ i ] [ j ] = m a x ( f [ i 1 ] [ j ] , f [ i ] [ j 1 ] ) f[i][j]=max(f[i-1][j], f[i][j-1]) 。代表不使用 s 1 [ i 1 ] s1[i-1] 形成最长公共子序列的长度、不使用 s 2 [ j 1 ] s2[j-1] 形成最长公共子序列的长度。这两种情况中的最大值。

代码:

class Solution {
    public int longestCommonSubsequence(String s1, String s2) {
        int n = s1.length(), m = s2.length();
        char[] cs1 = s1.toCharArray(), cs2 = s2.toCharArray();
        int[][] f = new int[n + 1][m + 1]; 
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= m; j++) {
                if (cs1[i - 1] == cs2[j - 1]) {
                    f[i][j] = f[i - 1][j - 1] + 1;
                } else {
                    f[i][j] = Math.max(f[i - 1][j], f[i][j - 1]);
                }
            }
        }
        return f[n][m];
    }
}
  • 时间复杂度: O ( n m ) O(n * m)
  • 空间复杂度: O ( n m ) O(n * m)

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.1143 篇,系列开始于 2021/01/01,截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目,部分是有锁题,我们将先将所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面,除了讲解解题思路以外,还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

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